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By Andrea Pascucci, Wolfgang J. Runggaldier
La finanza matematica ha visto un notevole sviluppo in tempi recenti, soprattutto in step with l'introduzione di strumenti finanziari atti a contenere il rischio nelle operazioni di mercato. Lo studio delle problematiche legate a tali strumenti richiede tecniche matematiche talvolta sofisticate e l. a. maggior parte di queste tecniche sono legate alla teoria della Probabilit� .
Gli ambienti finanziari sono quindi divenuti uno sbocco professionale non solo according to gli economisti, ma anche in keeping with i matematici ed in generale in step with i laureati delle self-discipline tecnico-scientifiche. Il presente libro è inteso come testo e nasce dall'esperienza d’insegnamento degli autori. Non esistono molti testi simili a livello internazionale ed il libro intende colmare story lacuna. Benché concepito maggiormente consistent with un corso di laurea triennale in matematica, esso dovrebbe adattarsi bene anche a corsi di tipo quantitativo in keeping with le facolt� di economia.
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C. anche rispetto a V0 , tale valore minimo `e spesso anche considerato come un possibile prezzo del derivato. Tale prezzo pu`o infatti anche essere considerato in accordo con il principio AOA nel senso che esso fornisce il minimo capitale iniziale a partire dal quale ottenere la migliore replicazione non perfetta secondo il criterio adottato. 6 Cenni alla tecnica del cambio di numeraire Accenniamo qui alla tecnica del cambio di numeraire prendendo lo spunto dalla formula di valutazione di una Call Europea in un modello binomiale e descrivendola poi in generale.
1). Supposto che il processo del prezzo S 1 sia positivo, utilizziamo tale titolo come unit`a di misura rispetto alla quale esprimere i prezzi di tutti i titoli del mercato, cio`e come un numeraire. Pertanto poniamo ¯n = Bn , B Sn1 Si S¯ni = n1 , Sn i = 1, . . , d. Se il mercato `e libero da arbitraggi e completo, esiste un’unica misura ¯ relativa al numeraire S 1 , ossia una misura tale che: martingala Q ¯ `e equivalente a P ; i) Q ¯ e S¯ sono Q-martingale. ¯ ii) i processi dei prezzi B Facciamo ora vedere che, mentre Q `e una misura martingala con numeraire ¯ ha come numeraire S.
43. d. definite su uno spazio di probabilit` (Ω F P ) e tali che 1 n=1 2 3 Assumiamo che il tasso privo di rischio sia nullo, r = 0, ed essendo il mercato incompleto consideriamo il problema della copertura mediante il criterio dello shortfall di un’opzione Call Europea con payoff P (μn = −1 2) = P (μn = 0) = P (μn = 1) = + ϕ(S2 ) = (S2 − 1) Utilizzando l’algoritmo della Programmazione Dinamica6 si determini la strategia autofinanziante con valore V non-negativo (ossia tale che Vn ≥ 0 per ogni n) che minimizza il seguente criterio di rischio E P [U(V2 S2 )] dove + U(V S) = (ϕ(S) − V ) `e la funzione di rischio “shortfall”.