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By Walter Thirring
In der Quantentheorie werden Observable durch Operatoren im Hilbert-Raum dargestellt. Der dafür geeignete mathematische Rahmen sind die Cx - Algebren, welche Matrizen und komplexe Funktionen verallgemeinern. Allerdings benötigt guy in der Physik auch unbeschränkte Operatoren, deren Problematik eigens untersucht werden muß. Dementsprechend werden zunächst mathematische Fragen studiert und dann die Methoden auf atomare Systeme angewandt. Obgleich guy außer dem Wasserstoffatom kaum explizit lösbare Probleme findet, lassen sich nicht nur allgemeine qualitative Fragen, etwa bezüglich des Energiespektrums und Streuverhaltens, beantworten, sondern auch quantitativ kann guy auch für kompliziertere Systeme für meßbare Größen Schranken teils befriedigender Genauigkeit finden. Inhaltsverzeichnis: Einleitung: Die Struktur der Quantentheorie; Größenordnungen atomarer Systeme.- Die mathematische Formulierung der Quantenmechanik: Lineare Räume; Algebren; Darstellungen im Hilbertraum; Einparametrige Gruppen; Unbeschränkte Operatoren und quadratische Formen.- Quantendynamik: Das Weyl-System; Der Drehimpuls; Die Zeitentwicklung; Der Limes t ; Störungstheorie; Stationäre Streutheorie.- Atomare Systeme: Das Wasserstoffatom; Das H-Atom in äußeren Feldern; Heliumartige Atome; Streuung am einfachen Atom; Komplexe Atome; Kernbewegung und einfache Moleküle.
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Example text
Ii) M = {cx·t + ßaz } = M", M' = M = Z; reduzibel, kein Faktor, maximal abelsch; (~ nur für cx und ß =1= 0 zyklisch, (3) und (~) sind invariante Unterräume. (iii) M = {cx·I} = Z = M", M' = {cx·t + ßä}; reduzibel, Faktor, abelsch, keine zyklischen Vektoren, jeder Unterraum invariant. 2. L~(R,dx) als Multiplikationsoperatoren in U (R,dx) ist maximal abelsch. Jede Funktion EU, die fast überall =1= 0 ist, ist zyklischer Vektor. Funktionen, die auf I C R verschwinden, bilden invariante Unterräume. L ~ ist reduzibel, kein Faktor.
Soll dies V a E A gelten, muß ein aiXi verschwinden, X(A) hat daher keine lineare Struktur. Aus den Resultaten des nächsten Kapitels wird folgen, daß X(A) alle reinen Zustände enthält: Sie geben irreduzible Darstellungen von A, und die sind für abelsche Algebren eindimensional, also Charaktere. 3. Der Kern {a E A: x(a) = O} ist ein abgeschlossenes beidseitiges Ideal von A. Da C keine echten Ideale hat, ist der Kern maximal, es gibt keine ihn umfassenden Ideale. Dieser Tatbestand läßt sich umkehren, jedem maximalen Ideal entspricht ein Charakter.
Iii) Es verbleibt noch zu zeigen, daß endliche Durchschnitte der zuletzt erhaltenen Umgebungen auch Elemente aus dem starken Abschluß enthalten. Dazu nehme man Xl ,X2, ... ,x n , n Vektoren =1= 0, und betrachte die Darstellung rr von A in Je (j) Je (j) ••• ••• (j) Je: rr(a) = a (j) a (j) ••• (j) a (sog. Amplifikation). ) 5. Zeige, daß der starke Abschluß der Multiplikationsoperatoren mit stetigen Funktionen über L2(R n ,dx n) gleich L~ ist. ) 6. 3,16) um eine orthogonale Summe handelt. 7. Konstruiere einen Operator mit rein singulärem Spektrum.