Download Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: Lineare by Wilhelm Merz, Peter Knabner PDF

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Wir bezeichnen die Menge der natürlichen Zahlen mit N := {1, 2, 3, . } . Nehmen wir noch die Null dazu, dann schreiben wir N0 := {0, 1, 2, 3, . } . h. mit a, b ∈ N gilt a + b, a · b ∈ N. 5, 3. eingeführten kartesischen Produktes auch so formuliert werden: + : N × N → N; (a, b) → a + b . 4) Dagegen ist die Subtraktion auf N nicht immer möglich. B. kein x ∈ N mit 5 + x = 3 , da x = 3 − 5 ∈ / N. Die Subtraktion ist ausführbar auf der Menge der ganzen Zahlen Z = {. . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . } .

4. Jede Teilmenge M ⊂ N ∧ M = ∅ besitzt ein kleinstes Element. 5. Beginnend bei 1, kann durch sukzessives Voranschreiten zum Nachfolger jede Zahl in N erreicht werden. Auf dem fünften Axiom basiert das wichtige Beweisprinzip der vollständigen Induktion. 55 (Prinzip der vollständigen Induktion) Es sei A(n) eine für alle n ∈ N gültige Aussage. Dann gilt: a) Induktionsanfang: Zeigen Sie, dass A(1) wahr ist. b) Induktionsschluss: Zeigen Sie, falls A(n) für ein beliebiges n ∈ N wahr ist, so ist auch A(n + 1) wahr.

Betrachten wir ein Quadrat mit Seitenlänge l = 1, so lässt sich für die Diagonale keine rationale Länge x angeben. 21 Es existiert keine rationale Zahl x ∈ Q mit x · x = 2. Beweis. Wir nehmen an, es existiert ein x = pq ∈ Q, wobei p, q ∈ N und teilerfremd sind. Damit ergeben sich folgende Implikationen: x·x= p2 q2 ⇒ ⇒ p2 = 2q 2 ⇒ 2 teilt p2 ⇒ 2 teilt p 4 teilt p2 = 2q 2 ⇒ 2 teilt q 2 ⇒ 2 teilt q. Die unterstrichenen Anteile der Implikationskette zeigen, dass p und q nicht teilerfremd sind. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, woraus die Behauptung folgt.