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By Jan W. Prüss, Rico Zacher, Roland Schnaubelt (auth.)
Dieses Lehrbuch befasst sich mit mathematischen Modellen für dynamische Prozesse aus den Biowissenschaften. Behandelt werden Dynamiken von Populationen, Epidemien, Viren, Prionen und Enzymen, sowie Selektion in der Genetik. Das Buch konzentriert sich auf Modelle, deren Formulierung auf gewöhnliche Differentialgleichungen führt. Schwerpunkte der Kapitel sind sowohl die mathematische Modellierung als auch die examine der resultierenden Modelle, sowie die biologische beziehungsweise biochemische Interpretation der Ergebnisse. Übungsaufgaben zu den Kapiteln erleichtern die Vertiefung des Stoffes.
Das Buch schlägt eine Brücke zwischen elementaren Einführungen in die Modellierung biologischer und biochemischer Systeme und mathematisch anspruchsvoller Spezialliteratur. Die vorgestellten Modelle und Techniken ermöglichen Studenten und Dozenten aus den Bereichen Bioinformatik und Biomathematik den Einstieg in komplexere Themen und weiterführende Literatur zur mathematischen Biologie. Der textual content enthält grundlegende, aber auch aktuelle Ergebnisse, die hier erstmals in Buchform erscheinen.
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Folglich ist die Anzahl Sk + Ik =: Nk > 0 der k-ten Unterklasse konstant. Ferner sei ak > 0 die (pro Kopf) Gesundungsrate der k–ten Unterklasse und rkl die Kontaktrate der Infektion eines Infizierbaren der Klasse k durch einen Infektiösen der l–ten Klasse. 1) die Differentialgleichungen n I˙k = −ak Ik + rkl Sk Il l=1 n = −ak Ik + n rkl Nk Il − l=1 rkl Ik Il l=1 für k ∈ {1, . . Wir normalisieren wieder die Anzahlen, indem wir vk = Ik /Nk und bkl = rkl Nl ≥ 0 setzen, und erhalten somit das System n v˙ k = −ak vk + n l=1 vk (0) = vk0 , bkl vk vl , bkl vl − t ≥ 0, k = 1, .
0. t . t . t V0 (! > 0, V0 > 0, t ≥ 0). ) Diese Identität gilt für die einzige strikt positive Wurzel ! + der quadratischen Gleichung ! 2 + ( + ν)! 7) die wegen R > 1 existiert. + an. Dadurch wird aber die Anzahl der gesunden Zellen stark reduziert, sodass die obige Annahme Z = /m nicht mehr gilt und die Virenproduktion rVZ abnimmt. Die Infektion wird also durch den Mangel an infizierbaren Zellen abgebremst und konvergiert dann gegen das endemische Equilibrium. Dabei können Oszillationen auftreten, wie man exemplarisch der Abbildung 13 entnehmen kann.
Hierbei betrachten wir die drei Variablen • Anzahl V der freien Viren, • Anzahl Z der nicht infizierten (gesunden) Zellen, • Anzahl I der infizierten Zellen. Das System wird ähnlich wie die makroskopischen Infektionsmodelle aus dem zweiten Kapitel modelliert. Nicht infizierte Zellen werden mit einer festen Rate > 0 bereitgestellt. Die freien Viren infizieren gesunde Zellen mit der Rate rVZ. Dabei beschreibt die Infektionskontaktrate r > 0 die Effizienz dieses Vorgangs, also etwa die Häufigkeit, mit der freie Viren nicht infizierte Zellen aufspüren und in sie eindringen (oder ihr genetisches Material einführen), sowie den Anteil der erfolgreichen Infektionen.